6 Κύµατα 6.1 Ορισµός του κύµατος Κύµα ονοµάζεται η διάδοση µιας διαταραχής που µεταφέρει ενέργεια και ορµή µε στα- ϑερή ταχύτητα. Εαστικό µέσο ονοµάζεται κάθε υικό µέσο που, για όγους απότητας, δεχόµαστε ότι έχει τις εξής ιδιότητες : ˆ Αποτεείται από σωµατίδια, τα οποία πηρούν το µέσο χωρίς διάκενα. ˆ Τα σωµατίδια αυτά συνδέονται µεταξύ τους µε εαστικές δυνάµεις. Άν για κάποιο όγο ένα σωµατίδιο Σ αποµακρυνθει από τη ϑέση ισορροπίας του, τότε εµφανίζεται µια δύναµη που τείνει να επαναφέρει το σωµατίδιο στη ϑέση ισορροπίας του. Ταυτόχρονα, όγω αντιδράσεων, δέχονται δυνάµεις και τα γειτονικά σωµατίδια, οπότε απο- µακρύνονται και αυτά από τις ϑέσεις ισορροπίας τους. Με τον τρόπο αυτό η διαταραχή που προκήθηκε στο σωµατίδιο Σ διαδίδεται σταδιακά από το ένα σηµείο του εαστικού µέσου στο άο και προς όες τις διευθύνσεις µε ορισµένη ταχύτητα. όταν το µέσο είναι οµογενές και ισότροπο ( δη. έχει τις ίδιες ϕυσικές ιδιότητες προς όες τις διευθύνσεις), η ταχύτητα είναι ίδια προς όες τις διευθύνσεις. Κατά την διάδοση ενός κύµατος µεταφέρεται ενέργεια και ορµή από το ένα σηµείο του µέσου στο άο, όχι όµως και ύη Αν ένα σωµατίδιο Σ (η πηγή των κυµάτων) εκτεεί εξαναγκασµένη ταάντωση µε την επίδραση µιας εξωτερικής περιοδικής δύναµης, τότε η ενέργεια που προσφέρεται συνεχώς στο σωµατίδιο ευτό ϑα µεταβιβάζεται προς όες τις διευθύνσεις µε ορισµένη ταχύτητα. Οταν το κύµα ϕθάνει σε ένα οποιοδήποτε σωµατίδιο του µέσου, αυτό αρχίζει επίσης να εκτεεί εξαναγκασµένη ταάντωση και αποκτά ενέργεια ( κινητική και δυναµική), η οποία µεταβιβάζεται στα γειτονικά του σωµατίδια κ.ο.κ. Ετσι µε την διαδικασία αυτή, γίνεται µεταφορά της ενέργειας που παρέχεται στη πηγή Σ των κυµάτων από το εξωτερικό αίτιο, χωρίς να γίνεται µεταφορά ύης, αφού τα σωµατίδια του µέσου εκτεούν εξαναγκασµένες τααντώσεις γύρω αό τις ϑέσεις ισορροπίας τους. Οταν η ταάντωση της πηγής Σ ειναι απή αρµονική ταάντωση, τότε το παραγώµενο κύµα ονοµάζεται Αρµονικό Κύµα. 6.2 Τα είδη των κυµάτων Τα κύµατα, ανάογα µε τον µηχανισµό παραγωγής και διάδοσης τους, διακρίνονται σε δύο ϐασικες κατηγορίες : ˆ Στα Μηχανικά Κύµατα, που είναι η διάδοση µιας διαταραχής σε ένα εαστικό µέσο. Τα µηχανικά κύµατα ( σεισµικά, υδάτινα, ηχητικά κπ) διαδίδονται µόνο σε υικά σώµατα που έχουν την ικανότητα να δέχονται και να µεταβιβάζουν προσωρινές παραµορφώσεις. perif ysikhs.wordpress.com 43 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
ˆ Στα Ηεκτροµαγνητικά Κύµατα, που ειναι η διάδοση µιας ηεκτροµαγνητικής διαταραχής. Τα ηεκτροµαγνητικά κύµατα ( ϕωτεινά κύµατα, ϱαδιοκύµατα, ακτινες Χ, ακτινες γ) διαδίδονται και στο κενό µε ταχύτητα c = 3 10 8 m/s. Με κριτήριο τις διαστάσεις του εαστικού µέσου, τα κύµατα διακρίνονται σε : ˆ Γραµµικά Κύµατα,δηαδή κύµατα που διαδίδονται µόνο σε µια διεύθυνση. Γραµ- µικά κύµατα διαδίδονται κατα µήκος µιας τεντωµένης εαστικής χορδής. ˆ Επιφανειακά Κύµατα,δηαδή κύµατα που διαδίδονται στην επιφάνεια ενός υικού µέσου. Επιφανειακά κύµατα διαδίδονται στην επιφάνεια του νερού. ˆ Κύµατα χώρου, δηαδή κύµατα που διαδίδονται προς όες τις διευθύνσεις ενός υικού µέσου. Κύµατα χώρου είναι τα ηχητικά κύµατα που διαδίδονται στον αέρα. Με κριτήριο το µηχανισµό διάδοσης, τα κύµατα διακρίνονται σε : ˆ Εγκάρσια Κύµατα, όπου τα σωµατίδια του εαστικού µέσου τααντώνονται σε διεύθυνση κάθετη προς την διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. Τα εγκάρσια κύµατα διαδίδονται στα στερεά σώµατα και στην εέυθερη επιφάνεια των υγρών. Κατά τη διάδοση των εγκαρσίων κυµάτων σχηµατίζονται όρη και κοιάδες, όπως ϕαίνεται στο διπανό σχήµα. ˆ ιαµήκη Κύµατα, όπου τα σωµατίδια του εαστικού µέσου τααντώνονται σε διεύθυνση παράηη προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. Τα διαµήκη κύµατα διαδίδονται στα στερεά, τα υγρά και τα αέρια. Κατά την διάδοση των διαµήκων κυµάτων εµφανίζονται πυκνώµατα και αραιώµατα. Στα στερεά τα διαµήκη κύµατα διαδίδονται µε µεγαυτερη ταχύτητα από ό,τι στα εγκάρσια. perif ysikhs.wordpress.com 44 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
Με κριτήριο τη µετακίνηση ή όχι της ϕάσης, τα κύµατα διακρίνονται σε : ˆ Τρέχοντα Κύµατα, όπου συµβαίνει µετακίνηση της ϕάσης του κύµατος από το ένα σηµείο του µέσου στο άο µε πεπερασµένη ταχύτητα. ˆ Στάσιµα Κύµατα, όπου η ϕάση του κύµατος δεν µετακινείται. 6.3 Τα στοιχεία του τρέχοντος αρµονικού κύµατος Τα στοιχεία ενός τρέχοντος αρµονικού κύµατος ειναι τα εξής : α. Η περίοδος, η συχνότητα και το πάτος του αρµονικού κύµατος Οταν η πηγή ενός κύµατος, εκτεεί απή αρµονική ταάντωση µε περίοδο Τ, συχνότητα f και πάτος Α, τότε τα σωµατίδια του εαστικού µέσου όπου διαδίδεται το κύ- µα εκτεούν επίσης απή αρµονική ταάντωση που έχει την ίδια περίοδο, την ίδια συχνότητα και το ίδιο πάτος µε την ταάντωση της πηγής. Τα µεγέθη αυτά, όταν αναφερόµαστε στο κύµα, αποτεούν τα αντίστοιχα µεγέθη του κύµατος. Άρα : Περίοδος (Τ)ενός αρµονικού κύµατος είναι το χρονικό διάστηµα στο οποίο ένα σωµατίδιο του µέσου εκτεεί µια πήρη ταάντωση. Αν ϕωτογραφίζαµε το µέσο σο οποίο διαδίδεται ένα αρµονικό κύµα την χρονική στιγµή t 1 = T και t 2 = 2T, ϑα ϐέπαµε ότι η κυµατική εικόνα επανααµβάνεται. Εποµένος µπορούµε να ορίσουµε την περίοδο ενός αρµονικού κύµατος και ως εξής : Περίοδος ενός αρµονικού κύµατος είναι το χρονικό διάστηµα στο οποίο η κυµατική εικόνα επανααµβάνεται. Συχνότητα (f) ενός αρµονικού κύµατος είναι η συχνότητα µε την οποία τααντώνονται τα σωµατίδια του µέσου. Η συχνότητα της εξαναγκασµένης ταάντωσης των σωµατιδίων ενός εαστικού µέσου, στο οποίο διαδίδεται ένα κύµα, αποτεεί χαρακτηριστικό γνώρισµα της πηγής του κύµατος και δεν εξαρτάται από το εαστικό µέσο. Πάτος (Α) ενός αρµονικού κύµατος είναι το πάτος µε το οποίο τααντώνονται τα σωµατίδια του µέσου. ϐ. Η ταχύτητα διάδοσης του αρµονικού κύµατος perif ysikhs.wordpress.com 45 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
Ταχύτητα διάδοσης (υ) ενός αρµονικού κύµατος ονοµάζεται η ταχύτητα µε την οποία διαδίδεται το κύµα σε ένα ορισµένο εαστικό µέσο. Οταν το εαστικό µέσο είναι οµογενές και ισότροπο, η ταχύτητα διάδοσης ενός µηχανικού κύµατος είναι σταθερή και δίνεται από την σχέση : υ = x t (82) όπου x ειναι η απόσταση την οποία διατρέχει το κύµα κατά µήκος µιας ευθείας διάδοσης του και t ο χρόνος που χρειάζεται για αυτό. Η σταθερή ταχύτητα µε την οποία διαδίδεται ένα κύµα σε ένα εαστικό µέσο δεν πρέπει να συγχέεται µε τη χρονικά µεταβαόµενη ταχύτητα της ταάντωσης των σωµατιδίων του µέσου. Η ταχύτητα διάδοσης ενός κύµατος εξαρτάται από το αν το κύµα είναι εγκάρσιο ή διαµήκες και καθορίζεται από την εαστικότητα και την αδράνεια του εαστικού µέσου. γ. Το µήκος κύµατος του αρµονικού κύµατος Σχήµα 21: Σε χρόνο Τ µια κορυφή του κύµατος µετακινείται κατά Μήκος Κύµατος ()ενός αρµονικού κύµατος που διαδίδεται σε ένα εαστικό µέσο ονοµάζεται η απόσταση την οποία διατρέχει το κύµα στο µέσο αυτό σε χρόνο ίσο µε µια περίοδο του κύµατος Αν στην σχέση (82)θέσουµε t = T και x =, ϑα έχουµε : υ = T υ = f (83) perif ysikhs.wordpress.com 46 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
όπου f είναι η συχνότητα του κύµατος. Η τεευταία σχέση ισχύει για οποιοδήποτε αρµονικό κύµα και ονοµάζεται Θεµειώδης εξίσωση της Κυµατικής. Στην ϑεµειώδη εξίσωση της κυµατικής η συχνότητα f καθορίζεται από την πηγή του κύµατος και η ταχύτητα υ από το µέσο διάδοσης του κύµατος. Κατα συνέπεια, όταν ένα κύµα µεταβαίναι από ένα µέσο Α σε ένα άο µέσο Β, αάζει η ταχύτητα και κατα συνέπεια το µήκος κύµατος. 6.4 Η εξίσωση του Αρµονικού Κύµατος Εξίσωση ενός αρµονικού κύµατος ονοµάζουµε την εξίσωση που µας δινει την αποµάκρυνση ενός σωµατιδίου του µέσου διάδοσης του κύµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο και µε την απόσταση του σωµατιδίου από την αρχή µέτρησης των αποστάσεων. Υποθέτουµε ότι στο σηµείο Ο ενός εαστικού µέσου υπάρχει µια πηγή κυµάτων, η οποία εκτεει απή αρµονική ταάντωση συχνότητας f και ότι το κύµα που παράγεται διαδίδεται κατά την ϑετική κατεύθυνση του άξονα Οx (προς τα δεξιά της πηγής των κυµάτων) µε ταχύτητα υ. Εκέγουµε ως αρχή µέτρησης των αποστάσεων (x = 0) το σηµείο Ο και ως αρχή των χρόνων (τ=0) τη χρονική στιγµή κατά την οποία η ϕάση στο σηµείο Ο είναι ίση µε µηδέν, δηαδή η αποµάκρυνση από την ϑέση ισορροπίας ειναι y = 0 και η ταχύτητα έχει ϑετική ϕορά (υ > 0). Αυτό σηµαινει ότι η εξίσωση της αποµάκρυνσης στο σηµείο Ο ϑα ειναι της µορφής! ( ) 2π y = Aηµ(ωt) = Aηµ T t (84) όπου ω είναι η γωνιακή συχνότητα και Τ η περίοδος της ταάντωσης της πηγής των κυµάτων. Ενα σηµείο Μ του µέσου που απέχει απόσταση (ΟΜ)=x από την πηγή ϑα αρχίσει να τααντώνεται τη χρονική στιγµή : t 1 = x υ (85) Εποµένος σε µια τυχαία χρονική στιγµή t το σηµείο Μ ϑα έχει τααντωθεί για χρόνο : t t 1 = t x υ (86) Άρα, µε την προϋπόθεση ότι το πάτος της ταάντωσης του σηµείου Μ είναι ίσο µε το πάτος της ταάντωσης του σηµείου Ο, η εξίσωση της αποµάκρυνσης του σηµείου Μ ϑα δίνεται από την εξίσωση : y = Aηµ 2π T ( t x ) = Aηµ2π υ y = Aηµ2π υt Η σχέση (87) αποτεεί την Εξίσωση του Αρµονικού Κύµατος (87) perif ysikhs.wordpress.com 47 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
ιάδοση του Κύµατος κατα την αρνητική ϕορά Αν το κύµα διαδίδεται κατά την αρνητική ϕορά του άξονα Οx, δηαδή από το σηµείο Μ προς το Ο, τότε ϕτάνει πρώτα στο σηµείο Μ και µετά στο σηµείο Ο. Αυτό σηµαίνει ότι η ϕάση της ταάντωσης τστο σηµείο Ο προηγείται της ϕάσης της ταάντωσης στο σηµειο Ο κατά γωνία φ = 2π x. Άρα αν κατά την χρονική στιγµή t η αποµάκρυνση στο σηµείο Ο δίνεται από την εξίσωση (84), την ίδια χρονική στιγµή η αποµάκρυνση στο σηµείο Ο δίνεται από την εξίσωση : ( ) ( 2π 2π y = Aηµ T t + φ = Aηµ T t + 2π x ) y = Aηµ2π T + x ) (88) Για κάθε σηµείο που ϐρίσκεται στο αρνητικό ηµιάξονα το x ϑα µπαίνει στις εξισώσεις µε το πρόσηµο του. Η ταάντωση των σωµατιδίων του εαστικού µέσου Οταν στο εαστικό µέσο διαδίδεται ένα αρµονικό κύµα, κάθε σηµείο του εκτεεί απή αρµονική ταάντωση, αφού το κύµα περάσει απο αυτό και το διεγείρει. Αν υποθέσουµε ένα κύµα που οδεύει προς τον ηµιάξονα µε ϕορά προς τα δεξιά, οι χρονικές εξισώσεις της ταάντωσης ενός υικού σηµείου Μ που απέχει απόσταση x M από το Ο ϑα είναι : Εξίσωση της αποµάκρυνσης από την Θέση Ισορροπίας Εξίσωση της ταχύτητας ταάντωσης y M = Aηµ2π M V M = ωaσυν2π M Εξίσωση της επιτάχυνσης ταάντωσης (89) (90) α M = ω 2 y M α M = ω 2 Aηµ2π M Οι παραπάνω σχέσεις ειναι οι γνωστές µας εξισώσεις της απής αρµονικής ταάντωσης για ένα σωµατίδιο µάζας m που ϐρίσκεται στο εαστικό µέσο. Οι παραπάνω σχέσεις όµως έχουν νόηµα όταν το κύµα έχει ϕτάσει στο σηµείο Μ, δηαδή όταν : φ 0 t T x M 0 t x M υ Προφανώς, για κάθε σωµατίδιο µάζας m του εαστικού µέσου που τααντώνεται µε πάτος Α και σταθερά επαναφοράς D = mω 2 ισχύει η Αρχή ιατήρησης της Ενέργειας: (91) (92) 1 2 Dy2 + 1 2 mv2 = 1 2 DA2 (93) όπου y η αποµάκρυνση του σωµατιδίου από την ϑέση ισορροπίας και v η ταχύτητα ταάντώσης του σε µια τυχαία χρονική στιγµή. perif ysikhs.wordpress.com 48 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
6.5 Γραφική παράσταση του αρµονικού κύµατος Από τη µορφή της εξίσωσης του αρµονικού κύµατος προκύπτει ότι η αποµάκρυνση y από την ϑέση ισορροπίας ειναι µια συνάρτηση δύο µεταβητών. Εξαρτάται από τον χρόνο t και από την ϑέση x του σωµατιδίου.κατα συνέπεια η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης να µπορει να πραγµατοποιηθεί αν ϑεωρήσουµε τη µια από τις δύο µεταβητές σταθερή. Ετσι διακρίνουµε 2 περιπτώσεις γραφικών παραστάσεων. α) Ταάντωση σωµατιδίου του µέσου Για ένα δεδοµένο σωµατιδιο του µέσου που ϐρίσκεται σε ένα σηµείο του άξονα Ox, δηαδη για x = x 1 η εξίσωση του αρµονικού κύµατος παριστάνει την εξίσωση ταάντωσης του σωµατιδιου και γράφεται : y = Aηµ2π T x 1 ) = f(t), t x 1 υ και δείχνει ότι η αποµάκρυνση y στο ϑεωρούµενο σηµείο ειναι µια ηµιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου. Επίσης είναι σαφές ότι η ταάντωση του σωµατιδιου ξεκινά Σχήµα 22: Γραφική παράσταση της αποµάκρυνσης ενός σωµατιδίου που ϐρίσκεται στην ϑέση x 1 σε συνάρτηση µε τον χρονο. µετά την χρονική στιγµή που το κύµα έχει ϕτάσει στο σηµείο αυτό. Αντίστοιχες είναι και οι γραφικές παραστάσεις της ταχύτητας,της επιτάχυνσης, της ύναµης επαναφοράς. ϐ) Στιγµιότυπο του κύµατος Για µια δεδοµένη χρονική στιγµή. δηαδή για t = t 1, η εξίσωση του αρµονικού κύµατος γράφεται : ( t1 y = Aηµ2π = f(x) και δείχνει ότι η αποµάκρυνση y στα διάφορα σηµεία του άξονα Ox είναι ηµιτονοειδής συνάρτηση της απόστασης x. perif ysikhs.wordpress.com 49 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
Σχήµα 23: Στιγµιότυπα του κύµατος σε διάφορες χρονικες στιγµές. Στη διάρκεια µιας περιόδου του κύµατος, αυτό διατρέχει απόσταση ίση µε το µήκος κύµατος και κάθε σωµατίδιο του µέσου εκτεεί µια πήρη ταάντωση. Η Μεθοδοογία για την σχεδίαση ενός στιγµιότυπου 1ο Βήµα : Θέτουµε στην εξίσωση του κύµατος όπου t = t 1 για να ϐρούµε την εξίσωση y = f(x) της οποίας την γραφική παράσταση ϑα σχεδιάσουµε. 2ο Βήµα : Βρίσκουµε πόσο µακριά έχει ϕτάσει από την αρχή Ο το κύµα (x = υt) και συγκρίνουµε αυτή την απόσταση µε το µήκος κύµατος (ή το /4). 3ο Βήµα : Βρίσκουµε την αποµάκρυνση y του σηµείου Ο (x = 0) την χρονική στιγµή t 1, ϑέτοντας στην εξίσωση που ϐρίκαµε στο 1ο ϐήµα x = 0. 4ο Βήµα : Σχεδιάζουµε το στιγµιότυπο ξεκινόντας από το πιο αποµακρυσµένο σηµείο από την perif ysikhs.wordpress.com 50 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
αρχή Ο, όπου έχει ϕτάσει το κύµα την χρονική στιγµή t 1. Το σηµείο αυτό την στιγµή t 1 ϐρίσκεται στην ϑέση ισορροπίας του µε ϑετική ταχύτητα. Πρόταση Μεέτης Λύσε απο τον Α τόµο των Γ. Μαθιουδάκη & Γ.Παναγιωτακόπουου τις ακόουθες ασκήσεις : 9.1-9.27, 9.70, 9.73, 9.74, 9.76, 9.78, 9.79, 9.81, 9.82, 9.85, 9.87, 9.89, 9.90, 9.91-9.94, 9.96-9.98, 9.100-9.105, 9.107, 9.109 6.6 Φάση του Αρµονικού Κύµατος Στην εξίσωση του αρµονικού κύµατος η παράσταση : φ = 2π T ± x ) (94) έχει διαστάσεις γωνίας (rad) και ονοµάζεται ϕάση του κύµατος. Από τη σχέση (94)προκύπτει ότι η ϕάση φ ενός κύµατος εξαρτάται από την απόσταση x από το σηµείο Ο και από τον χρονο t. Αυτό σηµαινει ότι για ένα δεδοµένο σηµείο του άξονα Ox (x = x 1 ) η ϕάση ϑα µεταβάεται σε συνάρτηση µε τον χρόνο t και σε µια δεδοµένη χρονική στιγµή t = t 1 η ϕάση ϑα µεταβάεται σε συνάρτηση µε την απόσταση x από την πηγή του κύµατος. Κάθε σηµείο του µέσου που τααντώνεται έχει ϕάση φ 0.Την ίδια χρονική στιγµή t κάθε τέτοιο σηµείο έχει διαφορετική ϕάση από τα υπόοιπα. Μεταξύ δύο σηµείων, µεγαύτερη ϕάση έχει το σηµείο στο οποίο ϕτάνει πρώτα το κύµα. Φάση ενός υικού σηµείου του εαστικού µέσου στο οποίο διαδίδεται ένα αρµονικό κύµα. Για ένα δεδοµένο σηµείο Μ που ϐρίσκεται στην ϑέση x = x 1 η ϕάση γράφεται : φ M = 2π 1, t x 1 υ ϐέβαια παραπάνω υποθέσαµε ότι το κύµα διαδίδεται πρός την ϑετική ϕορά του άξονα διάδοσης. Η γραφική παράσταση της ϕάσης σε συνάρτηση µε τον χρόνο t για το σωµατίδιο στη ϑέση Μ ϑα ειναι µια ευθεία γραµµή. Η χρονική στιγµή d υ είναι η στιγµή που ξεκινά να τααντώνεται το σηµείο Μ. perif ysikhs.wordpress.com 51 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
ιαφορά ϕάσης του ίδιου υικού σηµείου σε δύο διαφορετικές χρονικές στιγ- µές. Για το υικό σηµειο Μ σε δύο τυχαίες χρονικες στιγµές t 1 και t 2 η διαφορα ϕάσης υποογίζεται : ( t2 φ = 2π ( 1 t1 2π 1 φ = 2π T t Φάση ταάντωσης των υικών σηµείων του µέσου για µια δεδοµένη χρονική στιγµή Σε µια δεδοµένη χρονική στιγµή t t 1 η ϕάση του αρµονικού κύµατος γράφεται : ( t1 φ M = 2π Παρατηρούµε ότι τα υικά σηµεία του µέσου στο οποίο διαδίδεται ένα αρµονικό κύµα ϑα έχουν διαφορετική ϕάση σε µια χρονική στιγµή t 1. ιαφορά ϕάσης δύο υικών σηµείων του µέσου σε µια δεδοµένη χρονική στιγµή. Θεωρούµε δυο σηµεία το Α και το Β του άξονα Ox που απέχουν αποστάσεις x A και x B από το σηµείο Ο. Οι ϕάσεις των τααντώσεων τους κατά την ίδια χρονική στιγµή t ϑα ειναι αντίστοιχα : φ A = 2π A και φ B = 2π B Αν υποθέσουµε ότι x B > x A τότε ϑα είναι και φ A > φ B. Άρα η διαφορά ϕάσης µεταξύ τους ϑα ειναι : φ = 2π ( A t 2π B φ = 2π x Από την παραπάνω σχέση συµπεραινουµε τα εξής : α) Αν ειναι x = κ, τότε ϑα είναι : φ = 2κπ και κατά συνέπεια : perif ysikhs.wordpress.com 52 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
y A = Aηµ(φ A ) y A = Aηµ(φ B + 2κπ) = Aηµ(φ B ) y A = y B Άρα : όταν η διαφορά των αποστάσεων δύο σηµείων από την πηγή του κύµατος ειναι ακέραιο ποαπάσιο του µήκους κύµατος, τότε τα σηµεία αυτά έχουν σε κάθε χρονική στιγµή την ίδια αποµάκρυνση από την ϑέση ισορροπίας και την ίδια ταχύτητα ταάντωσης και ϑεωρούνται ότι ϐρίσκονται σε συµφωνία ϕάσης. ηαδή : x = κ, κ = 1, 2,... Συµφωνία Φάσης Από το παραπάνω προκύπτει και ένας άος ορισµός του µήκους κύµατος : Μήκος Κύµατος ονοµάζεται η απόσταση δύο διαδοχικών σηµείων της ευθείας διάδοσης του κύµατος, τα οποία ϐρισκονται σε συµφωνία ϕάσης ϐ) Αν είναι x = (2κ + 1), τότε ϑα ειναι : 2 και κατα συνέπεια, φ = (2κ + 1)π y A = Aηµ(φ A ) y A = Aηµ(φ B + (2κ + 1)π) = Aηµ(φ B ) y A = y B Άρα : όταν η διαφορά των αποστάσεων δύο σηµείων από την πηγή του κύµατος ειναι περιττό ποαπάσιο του µισού µήκους κύµατος, τότε τα σηµεία αυτά έχουν σε κάθε χρονική στιγµή αντίθετη αποµάκρυνση και αντίθετη ταχύτητα ταάντωσης και ϑεωρούνται ότι ϐρίσκονται σε αντίθεση ϕάσης. ηαδή : x = (2κ + 1), κ = 0, 1, 2,... Αντίθεση Φάσης 2 Σχήµα 24: Σηµεία σε συµφωνία ϕάσης απέχουν αποστάσεις, 2, 3,..., ενώ σηµεία σε αντίθεση ϕάσης απέχουν αποστάσεις 2, 3 2, 5 2,... perif ysikhs.wordpress.com 53 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου
Πρόταση Μεέτης Λύσε απο τον Α τόµο των Γ. Μαθιουδάκη & Γ.Παναγιωτακόπουου τις ακόουθες ασκήσεις : 9.28-9.58, 9.122, 9.123, 9.126, 9.127, 9.128, 9.130-9.136, 9.139, 9.140, 9.143-9.150, 9.153 6.7 Αρµονικό Κύµα µε αρχική ϕάση Αν η ταάντωση του σηµείου Ο (x = 0), που το ϑεωρούµε ως αρχή µέτρησης των αποστάσεων, έχει αρχική ϕάση φ 0, y = Aηµ( 2π T t + φ 0) τότε η εξίσωση του αρµονικού κύµατος έχει τη µορφή : ( 2π y = Aηµ T t 2π ) x + φ 0 y = Aηµ2π T x + φ ) 0 2π (95) η παραπάνω µορφή προκύπτει εύκοα αν ϑυµιθούµε την απόδειξη της εξίσωσης του αρ- µονικού κύµατος (87). Πρακτικά Αρχική ϕάση φ 0 για ένα κύµα µπορει να σηµαίνει ότι : ˆ είτε ότι το σηµείο Ο έχει αρχίσει να εκτεεί τααντώση πριν τη χρονική στιγµή που ϑεωρούµε εµείς ως t = 0, οπότε αυτό έχει ως αποτέεσµα τη χρονική στιγµή t = 0 το κύµα να έχει διαδοθεί σε κάποια απόσταση πέρα από το Ο. Για αν ϐρούµε που έχει ϕτάσει το κύµα την χρονική στιγµή t = 0 αρκεί να ϑέσουµε φ = 2π x + φ 0 T 2π) = 0, ˆ είτε ότι τη χρονική στιγµή t = 0 το κύµα δεν έχει ϕτάσει στο σηµείο Ο, ˆ είτε το σηµείο Ο ξεκινά να τααντώνεται τη χρονική στιγµή t = 0 µε ϕορά προς τα κάτω και µε ταχύτητα v = v max. Στην περίπτωση αυτή το κύµα δεν έχει διαδοθεί πέρα από το σηµείο Ο τη χρονική στιγµή t = 0, αά όα τα σηµεία του εαστικού µέσου στα οποία ϕτάνει το κύµα ξεκινούν να τααντώνονται µε ϕορά προς τα κάτω ( όπως το σηµείο Ο). Με ϐάση τα παραπάνω πρέπει να µας ειναι σαφές ότι ένα κύµα δεν έχει αρχική ϕάση όταν τη χρονική στιγµή t = 0 το σηµείο Ο (x = 0) ξεκινά να τααντώνεται µε ταχύτητα v = +v max. Επίσης αν και η αρχική ϕάση στις τααντώσεις παίρνει τιµές 0 φ 0 2πrad,στα κύµατα µπορει να πάρει οποιαδήποτε τιµή. Πρόταση Μεέτης Λύσε απο τον Α τόµο των Γ. Μαθιουδάκη & Γ.Παναγιωτακόπουου τις ακόουθες ασκήσεις : 9.156, 9.158, 9.160, 9.162, 9.163 perif ysikhs.wordpress.com 54 Μιχάης Ε. Καραδηµητριου